From 1d29c7262ed6bdef3269bc935467a4b5bd1fb472 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Frederic Weidling <fweidli@client61.num.math.uni-goettingen.de>
Date: Mon, 23 Jan 2017 12:29:53 +0100
Subject: [PATCH] blatt11
---
11_Vektoriterationen.ipynb | 252 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
1 file changed, 252 insertions(+)
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+++ b/11_Vektoriterationen.ipynb
@@ -0,0 +1,252 @@
+{
+ "cells": [
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "# Aufgabe 43\n",
+ "## Teil 1: Vektoriteration\n",
+ "Zunächst die Implementation der Vektoriteration. Da wir kein explizites Stoppkriterium in der Vorlesung besprochen haben (wobei das heuristische Stoppkriterium vom Fixpunktsatz von Banach anwendbar ist!) verwenden wir eine maximale Iterationszahl als Endbedingung. Als Rückgabe verwenden wir eine Liste, die die Folge der Eigenwerte enthält.\n"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 1,
+ "metadata": {
+ "collapsed": true
+ },
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "from numpy.linalg import norm\n",
+ "\n",
+ "def vektoriteration(A,x0,max_It=10):\n",
+ " eigenvalue_list=[]\n",
+ " eigenvalue=norm(x0)\n",
+ " for j in range(max_It):\n",
+ " x0=(A@x0)/eigenvalue\n",
+ " eigenvalue=norm(x0)\n",
+ " eigenvalue_list.append(eigenvalue)\n",
+ " return eigenvalue_list,x0"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "Nun für die Poissonmatrix. Wir starten mit dem Vektor $(0,0,1)$. Als Erinnerung: der maximale Eigenwert der Matrix ist $2+\\sqrt{2}$ mit Eigenvektor $(1/2,-1/\\sqrt{2},1/2)$"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 2,
+ "metadata": {
+ "collapsed": false
+ },
+ "outputs": [
+ {
+ "name": "stdout",
+ "output_type": "stream",
+ "text": [
+ "Folge der Eigenwerte: [2.2360679774997898, 2.8982753492378879, 3.1922525261132124, 3.3292810259172643, 3.3838222398784663, 3.4036279699578267, 3.4105622571268381, 3.4129583893366058, 3.4137825902599368, 3.4140656449140097]\n",
+ "Bestimmter Eigenvektor: [ 1.69075164 -2.41405427 1.72323681]\n"
+ ]
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "from numpy import array\n",
+ "\n",
+ "A=array([[2.0,-1,0],[-1,2,-1],[0,-1,2]])\n",
+ "x0=array([0,0,1.0])\n",
+ "\n",
+ "a,b=vektoriteration(A,x0)\n",
+ "\n",
+ "print('Folge der Eigenwerte: {0}\\nBestimmter Eigenvektor: {1}'.format(a,b))"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "Da wir lineare Konvergenz des Verfahrens bewiesen haben (Satz 6.11) erwarten wir, dass die Paare $(n,\\log(|\\lambda_n-\\lambda_{1}|))$ etwa auf einer Geraden liegen. Der Wert den wir für die Steigung erwarten ist $\\log(\\lambda_2/\\lambda_1)=\\log(2/(2+\\sqrt{2}))\\approx-0.53$."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 3,
+ "metadata": {
+ "collapsed": false
+ },
+ "outputs": [
+ {
+ "name": "stdout",
+ "output_type": "stream",
+ "text": [
+ "Die berechnete Steigung ist -1.01109209482217\n"
+ ]
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "from numpy import log,arange,sqrt\n",
+ "from scipy.stats import linregress\n",
+ "\n",
+ "a,b=vektoriteration(A,x0)\n",
+ "s1=arange(10)+1\n",
+ "t1=log(abs(array(a)-(2+sqrt(2))))\n",
+ "\n",
+ "reg=linregress(s1,t1)\n",
+ "\n",
+ "print('Die berechnete Steigung ist {}'.format(reg[0]))"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "Wir sehen, dass in diesem Beispiel eine schnellere Konvergenz erhalten. Dies liegt unter anderem daran, dass der Startvektor auch einen Anteil in Richtung des dritten Eigenvektors hat."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "## Teil 2: Inverse Vektoriteration"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 4,
+ "metadata": {
+ "collapsed": false
+ },
+ "outputs": [],
+ "source": [
+ "from numpy.linalg import solve\n",
+ "from numpy import eye\n",
+ "\n",
+ "def inverse_vektoriteration(A,x0,ew,max_It=10):\n",
+ " I=eye(len(x0))\n",
+ " for j in arange(max_It):\n",
+ " x0=solve(A-ew*I,x0)\n",
+ " x0=x0/norm(x0)\n",
+ " ew=x0@(A@x0)\n",
+ " return ew,x0\n",
+ " "
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 5,
+ "metadata": {
+ "collapsed": false
+ },
+ "outputs": [
+ {
+ "name": "stdout",
+ "output_type": "stream",
+ "text": [
+ "Wir erhalten den Eigenwert 3.414213562373095 mit Eigenvektor [-0.5 0.70710678 -0.5 ]\n"
+ ]
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "ew,ev=inverse_vektoriteration(A,x0,4)\n",
+ "print('Wir erhalten den Eigenwert {0} mit Eigenvektor {1}'.format(ew,ev))"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 6,
+ "metadata": {
+ "collapsed": false
+ },
+ "outputs": [
+ {
+ "ename": "LinAlgError",
+ "evalue": "Singular matrix",
+ "output_type": "error",
+ "traceback": [
+ "\u001b[0;31m---------------------------------------------------------------------------\u001b[0m",
+ "\u001b[0;31mLinAlgError\u001b[0m Traceback (most recent call last)",
+ "\u001b[0;32m<ipython-input-6-bd12161260ef>\u001b[0m in \u001b[0;36m<module>\u001b[0;34m()\u001b[0m\n\u001b[0;32m----> 1\u001b[0;31m \u001b[0mew\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m\u001b[0mev\u001b[0m\u001b[0;34m=\u001b[0m\u001b[0minverse_vektoriteration\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mA\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m\u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m\u001b[0;36m2\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[0m\u001b[1;32m 2\u001b[0m \u001b[0mprint\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0;34m'Wir erhalten den Eigenwert {0} mit Eigenvektor {1}'\u001b[0m\u001b[0;34m.\u001b[0m\u001b[0mformat\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mew\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m\u001b[0mev\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n",
+ "\u001b[0;32m<ipython-input-4-70e2dd1da485>\u001b[0m in \u001b[0;36minverse_vektoriteration\u001b[0;34m(A, x0, ew, max_It)\u001b[0m\n\u001b[1;32m 5\u001b[0m \u001b[0mI\u001b[0m\u001b[0;34m=\u001b[0m\u001b[0meye\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mlen\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[1;32m 6\u001b[0m \u001b[0;32mfor\u001b[0m \u001b[0mj\u001b[0m \u001b[0;32min\u001b[0m \u001b[0marange\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mmax_It\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m:\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[0;32m----> 7\u001b[0;31m \u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m=\u001b[0m\u001b[0msolve\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mA\u001b[0m\u001b[0;34m-\u001b[0m\u001b[0mew\u001b[0m\u001b[0;34m*\u001b[0m\u001b[0mI\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m\u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[0m\u001b[1;32m 8\u001b[0m \u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m=\u001b[0m\u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m/\u001b[0m\u001b[0mnorm\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[1;32m 9\u001b[0m \u001b[0mew\u001b[0m\u001b[0;34m=\u001b[0m\u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m@\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mA\u001b[0m\u001b[0;34m@\u001b[0m\u001b[0mx0\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n",
+ "\u001b[0;32m/opt/anaconda/lib/python3.5/site-packages/numpy/linalg/linalg.py\u001b[0m in \u001b[0;36msolve\u001b[0;34m(a, b)\u001b[0m\n\u001b[1;32m 382\u001b[0m \u001b[0msignature\u001b[0m \u001b[0;34m=\u001b[0m \u001b[0;34m'DD->D'\u001b[0m \u001b[0;32mif\u001b[0m \u001b[0misComplexType\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mt\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m \u001b[0;32melse\u001b[0m \u001b[0;34m'dd->d'\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[1;32m 383\u001b[0m \u001b[0mextobj\u001b[0m \u001b[0;34m=\u001b[0m \u001b[0mget_linalg_error_extobj\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0m_raise_linalgerror_singular\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[0;32m--> 384\u001b[0;31m \u001b[0mr\u001b[0m \u001b[0;34m=\u001b[0m \u001b[0mgufunc\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0ma\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m \u001b[0mb\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m \u001b[0msignature\u001b[0m\u001b[0;34m=\u001b[0m\u001b[0msignature\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m \u001b[0mextobj\u001b[0m\u001b[0;34m=\u001b[0m\u001b[0mextobj\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[0m\u001b[1;32m 385\u001b[0m \u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[1;32m 386\u001b[0m \u001b[0;32mreturn\u001b[0m \u001b[0mwrap\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mr\u001b[0m\u001b[0;34m.\u001b[0m\u001b[0mastype\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0mresult_t\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m \u001b[0mcopy\u001b[0m\u001b[0;34m=\u001b[0m\u001b[0;32mFalse\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n",
+ "\u001b[0;32m/opt/anaconda/lib/python3.5/site-packages/numpy/linalg/linalg.py\u001b[0m in \u001b[0;36m_raise_linalgerror_singular\u001b[0;34m(err, flag)\u001b[0m\n\u001b[1;32m 88\u001b[0m \u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[1;32m 89\u001b[0m \u001b[0;32mdef\u001b[0m \u001b[0m_raise_linalgerror_singular\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0merr\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m \u001b[0mflag\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m:\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[0;32m---> 90\u001b[0;31m \u001b[0;32mraise\u001b[0m \u001b[0mLinAlgError\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0;34m\"Singular matrix\"\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[0m\u001b[1;32m 91\u001b[0m \u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n\u001b[1;32m 92\u001b[0m \u001b[0;32mdef\u001b[0m \u001b[0m_raise_linalgerror_nonposdef\u001b[0m\u001b[0;34m(\u001b[0m\u001b[0merr\u001b[0m\u001b[0;34m,\u001b[0m \u001b[0mflag\u001b[0m\u001b[0;34m)\u001b[0m\u001b[0;34m:\u001b[0m\u001b[0;34m\u001b[0m\u001b[0m\n",
+ "\u001b[0;31mLinAlgError\u001b[0m: Singular matrix"
+ ]
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "ew,ev=inverse_vektoriteration(A,x0,2)\n",
+ "print('Wir erhalten den Eigenwert {0} mit Eigenvektor {1}'.format(ew,ev))"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "markdown",
+ "metadata": {},
+ "source": [
+ "Da wir hier bereits mit einem Eigenwert starten kann das Gleichungssystem nicht gelöst werden, da die Matrix die invertiert werden müsste singulär ist."
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 7,
+ "metadata": {
+ "collapsed": false
+ },
+ "outputs": [
+ {
+ "name": "stdout",
+ "output_type": "stream",
+ "text": [
+ "Wir erhalten den Eigenwert 2.0000000000000004 mit Eigenvektor [-0.70710678 0. 0.70710678]\n"
+ ]
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "ew,ev=inverse_vektoriteration(A,x0,1.6)\n",
+ "print('Wir erhalten den Eigenwert {0} mit Eigenvektor {1}'.format(ew,ev))"
+ ]
+ },
+ {
+ "cell_type": "code",
+ "execution_count": 8,
+ "metadata": {
+ "collapsed": false
+ },
+ "outputs": [
+ {
+ "name": "stdout",
+ "output_type": "stream",
+ "text": [
+ "Wir erhalten den Eigenwert 0.5857864376269049 mit Eigenvektor [-0.5 -0.70710678 -0.5 ]\n"
+ ]
+ }
+ ],
+ "source": [
+ "ew,ev=inverse_vektoriteration(A,x0,1)\n",
+ "print('Wir erhalten den Eigenwert {0} mit Eigenvektor {1}'.format(ew,ev))"
+ ]
+ }
+ ],
+ "metadata": {
+ "kernelspec": {
+ "display_name": "Python 3",
+ "language": "python",
+ "name": "python3"
+ },
+ "language_info": {
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+ "file_extension": ".py",
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+ },
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